Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz

Radioaktive Zerfälle finden überall statt. Mit dem Zerfallsgesetzt kann man die Risiken verstehen und bestimmen, wie lange die Abbauprozesse dauern.

Radioaktive Zerfälle finden zufällig statt. Daher kann man für kein einzelnes Atom eine Vorhersage machen, wann es genau zerfällt. Erst wenn man mehrere Atome des gleichen Elements betrachtet, kann man Vorhersagen machen. Jetzt kann man beobachten, dass nach einer bestimmten Zeit nur noch die Hälfte des ursprünglichen Materials da ist. Dies Zeit nennt man Halbwertszeit T_{1 over 2}.

Portrait Henri Becquerel
Antoine Henri Becquerel (1852 bis 1908) war ein französischer Physiker. Er entdeckte 1896 die Radioaktivität und erhielt 1903 gemeinsam mit Marie und Pierre Curie den Nobelpreis für Physik.

Der Zerfall des radioaktiven Materials, damit die Abnahme des radioaktiven Materials und der Menge an radioaktiver Strahlung ist ein exponentieller Prozess (Exponentielles Wachstum). Dabei ändert sich die Menge an Material in Abhängigkeit von dem vorher vorhandenen Material. Man kann es sich dabei nicht so vorstellen, dass jeden Tag z.B. 1g zerfällt uns somit von 365g nach einem Jahr nichts mehr da ist. Hier muss die Anfangsmenge berücksichtigt werden. Geht man von einer Halbwertszeit von einem Monat aus, so sind von den 365g nach einem Monat noch 182,5g vorhanden. Die Menge hat sich halbiert. Nach zwei Monaten sind es noch 91,25g. Um weiter zu rechnen ist es besser eine Tabelle aufzustellen:

Monate0123456789101112
Material365g182,5g91,25g45,6g22,8g11,4g5,7g2,9g1,4g0,7g0,4g0,2g0,1g
Zerfall mit T_{1\over2}=1 Monat.

In der Tabelle wird deutlich, wie schnell exponentielle Prozesse ablaufen und wie schnell die Menge an radioaktiven Atomen abnimmt. Leider gibt es ein kleines Problem dabei, die Menge wird niemals 0g. Dies ist die halbe Wahrheit, nach einer gewissen Zeit ist es wahrscheinlich 0g. Diesen Zeitpunkt kann man nur nicht bestimmen. Hier gilt die Bemerkung vom Anfang: man für kein einzelnes Atom eine Vorhersage machen, wann es genau zerfällt.

Herleitung des Zerfallsgesetz

Zuerst soll jetzt ein mathematisches Modell gebildet werden mit dem man die exponentielle Abnahme beschreiben kann. Hierzu ist es wichtig, sich zu überlegen wie man zum nächsten Wert kommt. Im obigen Beispiel ist die Regel, man muss das letzte Ergebnis halbieren. Eine Anzahl (hier Menge) wird gerne mit N bezeichent. Jetzt fügt man einfach der Menge N noch einen Index für die Monate hinzu und erhält N_{Monate} also N_0=365g und N_7=2,9g.

Der Zusammenhang von zwei aufeinander folgenden Werten ist z.B.: \frac{1}{2}\cdot N_3 =N_4 mit Zahlen \frac{1}{2}\cdot 45,6g =22,8g. Für jeden Schritt von einem Monat zum nächsten wird die Menge vom vorherigen halbiert. Dies kann man allgemein schreiben als \frac{1}{2}\cdot N_i =N_{i+1}, wobei i ein beliebige natürliche Zahl ist.

Jetzt kann man diese Idee mehrfach hintereinander ausführen und erhält mit \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot N_i =N_{i+2} , wenn man zwei Monate weiter geht, \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot N_i =N_{i+3} bei drei Monaten und es geht immer so weiter, bis irgendwann bei 12 Monaten 12 mal \frac{1}{2}\cdots steht. Das ist nicht sonderlich schön aber man kann es durch die Potenzrechengesetze zusammen fassen: \left(\frac{1}{2}\right)^{12} . Die Zwölf steht für die vergangenen Monate. Verallgemeinert man es jetzt wieder ergibt sich:

N_i=\left(\frac{1}{2}\right)^{i} \cdot N_0

oder, da man Produkte vertauschen darf:

N_i=N_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{i} 

Dem N_0 kommt hier eine besondere Funktion zu. Es ist der sogenannte Anfangswert. Bei \left(\frac{1}{2}\right) spricht man von einem Wachstumsfaktor. Dieser ist in diesem Fall auf Ein-Halb festgelegt.

Jetzt fehlt noch eine wichtige Größe in der Gleichung: die Zeit. Die Halbwertszeit ist für jedes radioaktive Element (genauer Isotop) unterschiedlich nicht gerade eine praktische Größe wie eine Stunde, ein Tag, ein Monat oder ein Jahr. Die Halbwertszeit von Iod I(131) -131 gibt das genaue Iod-Isotop an – ist 8 Tage. Hier kann nicht mit einer Woche gerechnet werden, weil es in etwa 7 Tage sind. der Wert für i soll nach 8 Tagen 1 sein. Man kann jetzt die Zeit t am besten in Tagen wählen. Wenn t=8 ist soll i=1 sein und wenn t=16 ist soll i=2 sein. Die Lösung ist i=\frac{t}{8} zu wählen. Allgemein wird die Zeit durch die Halbwertszeit geteilt:

N(t)=N_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} 

Hier wurde einzelne Wert N_i durch die Funktion N(t) ersetzt, da mit dieser Funktion auch ein Wert für z.B. t=5 Tage bestimmt werden kann.

Aufgaben

— fehlen —

Aktivität

Von der Stoffmenge hängt auch die Aktivität A, also die Anzahl der Zerfälle pro Zeit ab. Diese Anzahl an Zerfällen pro Sekunde ist nach Henri Becquerel benannt. Ein Zerfall pro Sekunde entspricht einem Becquerel (1 Bq). Da die Anzahl an Zerfällen pro Sekunde der Änderung der Stoffmenge entspricht, gilt für den Abfall der Aktivität A(t) ebenfalls:

A(t)=A_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} 

Erweiterung

Mit Hilfe der Umkehrung der Exponentialfunktion durch den Logarithmus kann die Halbwertszeit aus zwei Messdaten bestimmt werden. Wenn man von einer Stoffmenge am Anfang von 80g ausgeht und nach 6 Tagen noch 20g übrig waren so muss man die Gleichung lösen:

N(6)=20g=80g\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6}{T_{1/2}}} 

Dies geht mit Hilfe von Gleichungsumformungen und dem Logarithmus mit der Basis 1/2:

\begin{matrix}
&20g&=&80g\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6}{T_{1/2}}}&\quad |:80g\cr
\Leftrightarrow&0,25&=&\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6}{T_{1/2}}}&\quad |\log_{1/2}()\cr
\Leftrightarrow&\log_{1/2}(0,25)&=&\frac{6}{T_{1/2}} &\quad |\operatorname{TR}\cr
\Leftrightarrow&2&=&\frac{6}{T_{1/2}} &\quad |\cdot T_{1/2}\cr
\Leftrightarrow&2\cdot T_{1/2}&=&6 &\quad | : 2\cr
\Leftrightarrow&T_{1/2}&=&3&\cr
\end{matrix}
Aufgaben

— fehlen —

Vertiefung

Dies kann jetzt mit Hilfe der e-Funktion ausgedrückt werden:

N(t)=N_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} = N_0\cdot e^{\frac{\ln(1/2)t}{T_{1/2}}}=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t }

dabei ist -\lambda = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{T_{\frac{1}{2}}} . -\lambda wird verwendet damit der kleiner werdende Prozess deutlich ist. Aus den Gesetzen zum Logarithmus folgt \ln(\frac{1}{2}) = -\ln(2).

Mit dieser Formel kann jetzt auch die Aktivität durch die Stoffmenge bestimmt werden. Die Aktivität ist die Änderung der Stoffmenge pro Zeit, welches der Ableitung nach der Zeit entspricht: A(t)=N'(t)=\dot{N}(t)=\frac{\partial}{\partial t}N(t). Dies geht einfach mit der Kettenregel. Zum Schluss wird noch der Ausgangsterm wieder durch N(t) ersetzt.

A(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t }\cdot (-\lambda )=N(t)\cdot (-\lambda )
Aufgaben

— fehlen —

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